Problematiche e ricerca di un metodo

La probabile mancanza di frammenti contigui ha suggerito che la metodologia di ricomposizione non possa contare sulla forma dei contorni di ciascun frammento conservatosi, ma debba necessariamente basarsi sul contenuto di informazione grafica di ogni singolo pezzo. È stata dunque ideata una procedura matematica che, attraverso l'applicazione di un algoritmo, opera su una rappresentazione digitale di un'immagine e dei suoi frammenti ed è in grado di calcolare automaticamente e con buona approssimazione la posizione e l'orientamento originari. L'approccio si basa su una rappresentazione matematica dell'immagine di un frammento e il confronto con il contesto di provenienza. Nella sua condizione ideale, la metodologia richiederebbe immagini degli affreschi precedenti il crollo di qualità vicina a quella delle immagini dei frammenti. Sono invece disponibili soltanto immagini fotografiche in bianco e nero risalenti alle campagne Alinari e Anderson, che presentano peraltro una evidente distorsione spettrale e di linearità. Dunque la compatibilità tra le immagini dei frammenti e quella degli affreschi è solo approssimativa. A ciò concorrono diversi fattori, come la necessità di convertire in grigio le immagini dei frammenti, le differenti condizioni di illuminazione al momento delle riprese, l'evoluzione delle tecniche e dei materiali fotografici e, infine, la diversità tra lo stato di conservazione degli affreschi prima del crollo e quello dei frammenti che in cinquant'anni circa hanno subito un bombardamento, numerosi trasferimenti e manipolazioni. Perciò lo strumento matematico utilizzato, se da un lato si deve dimostrare estremamante preciso, dall'altro deve essere "tollerante", deve cioè riuscire ad individuare, nella maggioranza dei casi significativi, la posizione del frammento con incertezza accettabile ed eliminabile, ignorando le differenze che potrebbero recare disturbo al riconoscimento.
Per poter ricollocare un dato frammento è necessario stabilirne la corretta orientazione. Una soluzione ipotizzabile sarebbe quella di procedere per tentativi sistematici di posizione e di rotazione, sovrapponendo cioè l'immagine digitale del frammento su ciascuno dei pixel dell'immagine digitale dell'affresco e valutandone matematicamente la congruità. Tuttavia, poiché il numero possibile di combinazioni risulterebbe finito ma estremamente elevato, la valutazione di ciascun frammento in rapporto ad ogni singola scena affrescata presenterebbe tempi eccessivamente estesi.

Armoniche Circolari

La sfida matematica è stata dunque ideare un metodo eseguibile da un calcolatore elettronico, in grado di determinare con precisione, ma anche con tolleranza rispetto ad eventuali disturbi (rumore), l'orientamento e la posizione di un frammento su una scena in un tempo di calcolo estremamente ridotto.
Il metodo proposto si basa su un presupposto teorico fondamentale: un'immagine digitale può essere decomposta e ricomposta mediante un insieme di immagini base che risultano sostanzialmente invarianti rispetto a rotazioni; il confronto di questa decomposizione del frammento con quella corrispondente dell'affresco è sufficiente per dire se esso corrisponda o meno alla parte di affresco sottoposta. In tal modo si evita di dover valutare per tentativi la migliore rotazione possibile mediante la sovrapposizione pixel per pixel e dunque si velocizza notevolmente il tempo di calcolo. Caratteristica fondamentale della decomposizione in immagini base è che alcune di esse sono poco sensibili alla presenza di certi disturbi: se un'immagine è stata distorta, le sue immagini base non saranno significativamente modificate. Un confronto degli invarianti base, se da un lato risulta dunque accurato nell'identificazione di due immagini indipendentemente dalla mutua rotazione, si presenta altrettanto efficiente nell'ignorare certe distorsioni e disturbi.
La decomposizione di immagini digitali si realizza proiettando un'immagine attraverso le cosiddette armoniche circolari, entità che compaiono in moltissimi contesti della fisica applicata allo studio dei fenomeni naturali. Se da un punto di vista ottico la proiezione è un'operazione nota e intuitivamente comprensibile, meno chiaro è come si possa realizzare una proiezione di immagini ricorrendo al solo uso del calcolatore elettronico. Senza entrare nel dettaglio, si può qui affermare che la matematica è in grado di modellizzare geometricamente, in modo semplice, anche il concetto di proiezione e che dunque anche questa operazione sarà davvero eseguibile da un calcolatore.
Ridotto il problema dei possibili disturbi ed eliminato quello della mutua rotazione, la procedura individua la posizione del frammento "trasportandolo" su tutti i punti e applicando il confronto degli invarianti. Applicando uno degli algoritmi più importanti della pratica del trattamento digitale dei segnali, la trasformata di Fourier veloce (FFT - Fast Fourier Transform), il calcolo può essere eseguito in modo estremamente rapido, ovviando a costi eccessivi sul piano combinatorio.
Riconoscimento veloce degli invarianti per rotazione e FFT sono dunque alla base della metodologia appositamente ideata per il riconoscimento delle immagini dei frammenti su quelle degli affreschi. L'immagine di un dato frammento viene confrontata con le immagini dell'affresco in tutte le posizioni possibili determinando una mappa di corrispondenza. Il punto di massima corrispondenza è la posizione che più probabilmente coincide con l'originale.

Sperimentazione

A seguito dell'implementazione e della modellizzazione del metodo, tra 1998 e 2000 è stata condotta una sperimentazione su 1000 frammenti allo scopo di stabilire l'efficacia del metodo e valutare l'effettiva possibilità di estendere la ricerca a tutti i frammenti (80.000 ca.). Il test è stato orientato a definire un'efficiente modalità di lavoro che potesse essere gestita nell'ambito di un laboratorio appositamente allestito e stabilire i tempi necessari per la valutazione di tutti i frammenti sulle immagini delle scene dipinte sulle pareti laterali della cappella. Risultati soddisfacenti hanno motivato la definizione di un progetto su larga scala.

Le armoniche circolari

Rappresentazione 3D del matching